*Este artigo é de autoria do professor Jeremiah Bartz, da University of North Dakota, nos Estados Unidos, e foi publicado na plataforma The Conversation Brasil.
Um fragmento de osso liso, conhecido como osso Ishango, datado de 20.000 anos atrás, despertou a curiosidade de arqueólogos. As marcas irregulares gravadas nele se assemelham a linhas de contagem e podem ter representado números primos. De maneira similar, uma tábua de argila babilônica, datada de 1800 a.C., chamada Plimpton 322, também descreve um sistema numérico fundamentado em números primos.
Esses artefatos, como o osso Ishango e a tábua Plimpton 322, demonstram que os números primos sempre foram uma fonte de fascínio ao longo da história. Hoje, eles são objeto de estudo na Teoria dos Números, um ramo da matemática em constante pesquisa.
De forma simples, um número inteiro positivo maior que um é considerado primo se puder ser organizado apenas em uma matriz retangular com uma única linha ou coluna. Por exemplo, o número 11 é primo porque 11 pontos de contagem podem ser arranjados apenas em matrizes de 1 por 11 ou 11 por 1. Em contraste, 12 não é primo, pois pode ser disposto em uma matriz de 3 por 4, com várias linhas e colunas. Nos manuais de matemática, um número primo é definido como um inteiro que é maior que 1 e tem apenas dois divisores positivos: 1 e ele mesmo.
O historiador da matemática Peter S. Rudman sugere que os matemáticos da Grécia Antiga foram provavelmente os primeiros a compreender o conceito de números primos, por volta de 500 a.C. Por volta de 300 a.C., o matemático e lógico grego Euclides demonstrou que existem infinitos números primos. Ele partiu da suposição de que havia um número finito de primos, mas, ao apresentar um novo primo fora da lista original, ele gerou uma contradição. Como a matemática deve ser logicamente consistente, Euclides concluiu que sua suposição inicial era incorreta, confirmando, assim, a infinitude dos números primos.
Embora esse argumento tenha estabelecido a existência infinita de primos, não ofereceu um método prático para listá-los em ordem crescente. Durante a Idade Média, matemáticos árabes expandiram a teoria dos primos dos gregos, referindo-se a eles como “números hasam”. O matemático persa Kamal al-Din al-Farisi formulou o teorema fundamental da aritmética, que estabelece que qualquer número inteiro positivo maior que um pode ser expresso unicamente como um produto de números primos. Nesse contexto, os números primos são vistos como os elementos básicos que permitem a construção de todos os números inteiros positivos por meio da multiplicação, semelhante à combinação de átomos em moléculas na química.
Os números primos podem ser categorizados de diferentes maneiras. Em 1202, o matemático Leonardo Fibonacci, em seu livro “Liber Abaci: Book of Calculation”, apresentou primos na forma (2p – 1), onde p também é primo. Esses primos são conhecidos como primos de Mersenne, em homenagem ao monge francês Marin Mersenne. Muitos dos primos mais significativos conhecidos seguem esse padrão.
Ainda que muitos matemáticos antigos acreditassem que um número da forma (2p – 1) seria sempre primo se p fosse primo, em 1536, Hudalricus Regius descobriu que 11 é primo, mas (2^11 – 1), igual a 2047, não é. O número 2047 pode ser decomposto como 23 vezes 89, desmentindo essa conjectura. Embora nem sempre seja verdade, teóricos dos números perceberam que essa fórmula (2p – 1) frequentemente resulta em números primos e oferece uma abordagem sistemática para a busca de primos grandes.
Conforme o valor de p cresce, o número (2p – 1) se torna muito maior, criando oportunidades para identificar primos de grande magnitude. Contudo, à medida que (2p – 1) se torna suficientemente elevado, a verificação da primalidade desse número se torna mais desafiadora, ou seja, verificar se (2p – 1) pode ser organizado apenas em uma matriz retangular com uma linha ou coluna.
Felizmente, em 1878, Édouard Lucas desenvolveu um teste de primalidade, que foi validado por Derrick Henry Lehmer em 1930, resultando em um algoritmo eficaz para avaliar os números primos de Mersenne. Usando esse algoritmo em cálculos manuais, Lucas conseguiu demonstrar em 1876 que o número de 39 dígitos (2^127 – 1) é primo, totalizando 170.141.183.460.469.231.731.687.303.715.884.105.727. Este número, conhecido como M127, foi o maior primo verificado por cálculos manuais e manteve esse título por 75 anos.
Na década de 1950, pesquisadores começaram a utilizar computadores, acelerando a descoberta de novos primos grandes. Em 1952, Raphael M. Robinson identificou cinco novos números primos de Mersenne com um computador Standard Western Automatic. Com o avanço da tecnologia computacional, a lista de números primos de Mersenne se expandiu, especialmente após a introdução do supercomputador Cray em 1964. Embora existam infinitos números primos, a quantidade de primos do tipo (2p – 1) ainda é incerta.
No início da década de 1980, os pesquisadores reuniram dados suficientes para acreditar com confiança na existência infinita de números primos de Mersenne e até estimaram a frequência com que aparecem. Embora não tenham encontrado provas conclusivas até o momento, novos dados continuam a corroborar essas suposições.
George Woltman, um cientista da computação, fundou o Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) em 1996. Através deste projeto colaborativo, qualquer pessoa pode baixar o software gratuito do site GIMPS para ajudar na busca por números primos de Mersenne em seus computadores pessoais, com instruções detalhadas disponíveis no site.
Até agora, o GIMPS já identificou 18 números primos de Mersenne, com a maioria das descobertas feitas em computadores pessoais equipados com chips Intel, fazendo uma nova descoberta a cada um ou dois anos em média. Luke Durant, um programador aposentado, fez a descoberta do atual recorde do maior primo conhecido, (2^136279841 – 1), em outubro de 2024. Este número, M136279841, possui 41.024.320 dígitos e foi o 52º primo de Mersenne encontrado, utilizando o GIMPS em uma rede de computação em nuvem pública.
Essa rede operou em 17 países e 24 data centers, utilizando chips da Nvidia, permitindo uma computação mais rápida ao realizar milhares de cálculos simultaneamente. O resultado foram tempos de execução mais reduzidos para algoritmos, como os testes de primalidade.
A Electronic Frontier Foundation, um grupo defensor das liberdades civis, oferece prêmios monetários pela descoberta de grandes números primos. Ela concedeu prêmios em 2000 e 2009 para os primeiros números primos verificados com 1 milhão e 10 milhões de dígitos, respectivamente. Os próximos desafios para os entusiastas da matemática são encontrar os primeiros primos com 100 milhões e 1 bilhão de dígitos, com prêmios de US$ 150 mil e US$ 250 mil, respectivamente, aguardando os primeiros indivíduos ou grupos bem-sucedidos.
Atualmente, oito dos dez maiores números primos conhecidos são primos de Mersenne, e o GIMPS, juntamente com a computação em nuvem, está se posicionando para desempenhar um papel crucial na busca por novos primos recorde. Esses grandes números primos são fundamentais em muitos métodos de criptografia utilizados na segurança cibernética, beneficiando todos os usuários da internet ao proteger comunicações digitais e informações sensíveis.
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